quarta-feira, 12 de dezembro de 2012

semelhança de triângulos questões vestibular

semelhança e congruência de triângulos

Definição de Semelhança entre Triângulos

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.
Triângulos Semelhantes
Traduzindo a definição em símbolos:
Definição de Semelhança entre Triângulos
Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.
Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo).

Razão de Semelhança

Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão de semelhança dos triângulos:
Razão de Semelhança

Exemplo

Dados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidas dos lados e e d do segundo triângulo.
Exemplo de Semelhança
Solução:
Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que:
c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2
De forma análoga:
a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16
b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12

Propriedades

a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.
Propriedade Reflexiva
b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.
Propriedade Simétrica
c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
Propriedade Transitiva
Congruência de triângulos
No caso de congruência de triângulos é possível descobrir se um triângulo é congruente ao outro apenas comparando os seus elementos.

Bem sabemos que o triângulo possui seis elementos (três lados e três ângulos). Estes elementos vão determinar a congruência dos triângulos de modo que podemos afirmar dois fatos:





Para tanto, devemos estudar os possíveis casos de comparação destes elementos a fim de encontrar as congruências. Para isso, temos os casos de congruência: 4 casos que relacionam estes elementos entre si. 


1) O CASO LADO-LADO-LADO (LLL): se 2 triângulos tem os 3 lados correspondentes com medidas proporcionais, eles são semelhantes.



2) O CASO LADO-ÂNGULO-LADO (LAL): se 2 triângulos tem 2 lados correspondentes com medidas proporcionais e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes;



3) O CASO ÂNGULO-LADO-ÂNGULO (ALA): se 2 triângulos tem 2 ângulos correspondentes respectivamente congruentes, eles são semelhantes;



4) O CASO LADO-ÂNGULO-ÂNGULO (LAA): Se 2 triângulos tem congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado, eles são semelhantes;


Estes são os possíveis casos de congruência, veja que eles relacionam 3 elementos dos triângulos em uma determinada correspondência sequencial. Note que o fato mais importante destes casos é a sequência com que os elementos estão dispostos (organizados). Só podemos afirmar que um triângulo é congruente caso ele tenha seus elementos congruentes, do modo como está organizado nos casos de congruência. Um exemplo disto é a possibilidade de termos quatro ou até mesmo cinco elementos congruentes, mas sem que nenhum encaixe em algum dos quatro casos de congruência.

semelhança de triângulos questões de vestibular
2) Dados os triângulos semelhantes PTN e AMO, semelhantes




com AM = 3 cm, MO = 7 cm e AO = 5 cm, pede-se calcular a razão de semelhança e os outros dois lados do, sabendo-se que PT = 6cm.


Resolução





Como sabemos:



A razão de semelhança é 2



Resposta: A razão de semelhança é 2 e os outros dois lados do medem 10 cm e 14 cm.

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3) Um triângulo ABC tem os lados AB = 12m, AC = 13m e BC = 15m.  A reta  paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5cm. Calcular AD e AE.


Resolução


AB = 12
AC = 13
BC = 15
DE = 5

Calcular

AD = x
AE = y



Resposta: AD = 4m e AE = m



4)Determine a medida x na figura abaixo:



Solução:

Observe que os triângulos ABD e CBD são semelhantes, pois possuem dois ângulos de mesma medida: o ângulo comum D e aqueles marcados em amarelo. Separando os triângulos, vem:



Comparando os lados correspondentes marcados nas duas figuras acima, vem imediatamente que:

BD / CD = AD / BD = AB / BC

Substituindo os valores, vem:
10 / 4 = (x + 4) / 10

Resolvendo a equação acima, fica:
4(x + 4) = 10.10
x + 4 = 100/4
x + 4 = 25 \ x = 21
Resp: x = 21

 5) Coloque V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa:

a) (   ) Dois triângulos congruentes são sempre semelhantes.
b) (   ) Dois triângulos semelhantes são sempre congruentes.






6) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:



Se AR = OE, então:

(A) OE < TO
(B) AE < ER
(C) OE = TO
(D) AE = ER
(E) AR + TE > TO

7) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:


Se AR = OE = 2 AE, então:

(A) RÂE = 2TÊO
(B) RÂE = 2TÔE
(C) RÂE = TÊO
(D) RÂE = TÔE
(E) RÂE < 2TÊO

8) Quanto vale x?


Gabarito: 
5) a) V  b) F   6) E   7) A  8) x = 16/5



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