quinta-feira, 27 de dezembro de 2012

Polinômios questões vestibular

Adição e subtração de polinômios

O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes e jogo de sinal. Observe os exemplos:

1) Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 

(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 

4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 

4x2 – 4x + 7 

Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 

2) Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 

(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 

4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 

4x2 – 4x + 7 

Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 

3) Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos: 

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. 

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 

0x³ – 6x² + x + 16 

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16

4) Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. 

(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

– (–3x2) = +3x2 
– (+10x) = –10x 
– (–6) = +6 

5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 

5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 

8x2 – 19x – 2 

Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 

Divisão de polinômio por polinômio

Em toda divisão temos dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos:

Para o dividendo um polinômio G(x)
Para o divisor um polinômio D(x)
Para o quociente um polinômio Q(x)Para o resto (podendo ser zero) um polinômio R(x)



Prova real:    

Tem algumas observações a serem feitas, como: 

 ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x)

 quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. R(x) = 0.

A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados. 

Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5). 

Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações: 

• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x. 
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.

Feita as verificações podemos iniciar a divisão. 

O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos). 

6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5  | 2x2 – 4x + 5 

• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 

6x4 : 2x2 = 3x2 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor). 

(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo). 



• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5). 

2x3 : 2x2 = x 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor) 

(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5. 




• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x² +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5). 

-2x2 : 2x2 = -1 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor) 

(2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5. 



Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2  +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.

Divisão de Polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini


Quando necessitarmos dividir um polinômio por um binômio poderemos utilizar este dispositivo.
Por exemplo ao dividirmos o polinômio p(x) = 2x4 – 2x2 + 3x +1 por x – 1. (devem ser colocados todos os coeficientes. nesse caso precisaremos adicionar o coeficiente zero, que seria de x3)
Na segunda linha, repetimos o primeiro número da linha acima (no caso, o número 2). Em seguida, multiplica-se esse número pela raiz e somamos o próximo número da linha superior. Repetir essa operação até que acabem os números da linha superior.
Assim o quociente da divisão é 2x3 + 2x2 + 0x1 + 3 e o resto é 4.


Multiplicação com polinômios

Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:

(x – 1) * (x2 + 2x - 6)


x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)

(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)

x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.

x³ + x² – 8x + 6

Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.


Multiplicação de monômio com polinômio 
• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x3 + 9x2 – 3x

Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x+ 9x2 – 3x

• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:

-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)

- 10x3 + 2x2

Portanto: -2x(5x – 1) = - 10x3 + 2x2

Multiplicação de número natural 
• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:

3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5

6x2 + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15. 

Propriedades importantes dos polinômios

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini. Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5,   3 + 2i  e   4 - 3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.    

P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an= 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever: (x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!).

Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a). 
Note que –b/a é a raiz do divisor.  
Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0  =>  x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1  =>  P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.

Decomposição de um polinômio em fatores  

Vamos analisar dois casos: 
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma: 
ax2+bx+c=a(x-r1)(x-r2) 
Exemplos:  
1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4.
     Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.
    Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).  
2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.
     Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.
      Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).  
2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.  
Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x.
Resolução:
2x3-x2-x = x.(2x2-x-1)  ⇒  colocando x em evidência
Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.
Uma das raízes já encontramos (x=0).
As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.  
Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é:
2.x.(x-1).(x+(1/2)) 
Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 =  an(x-r1)(x-r2)...(x-rn) 
Observações: 
1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.
2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.

Relações de Girard -  Albert Girard (1590-1633).

São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica .
Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes xe x2 :
x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .
Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 as raízes , temos as seguintes relações de Girard :
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = - d/a
Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes iguais a
x1 , x2 , x3 e x, temos as seguintes relações de Girard :

x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a
x1.x2.x3.x4 = e/a

NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a memorização das fórmulas


Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0   
Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisível por x-2. Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.
P(2)=0  =>  2.8+5.4-2p+2=0  =>  16+20-2p+2=0  =>  p=19
Resposta: p=19.

questões sobre polinômios


1) Sobre Multiplicações de Polinômios resolva:
( x  -  3 )  .  ( x  +  3 )  .  ( x2  +  9 ) 
2) Calcule: ( 3x  -  1 / 2 )  .  ( x2  +  4 ) 
3) Calcule A . B utilizando o D.P. ( Dispositivo Prático ) sabendo-se que:
A = 3x  -  1     e
B = x2  +  4x  +  8
4) Resolva a seguinte expressão abaixo:
2 / 3  .  ( x  -  1 / 4 )  -  3 / 5  .  ( x / 2  -  1 )  +  x  -  1  
5) Calcule os seguintes produtos:
( 2x  -  3 )  .  ( x2  -  3x  +  5 ) 
6) Resolva a seguinte expressão algébrica:
( x  -  2 )  .  ( 16  +  8x  +  4x2  +  2x3  +  x)  +  32 
7) Sobre Divisão de Polinômios, calcule:
( 9x6  -  12x5  +  18x3  -  x2 )  :  ( 3x2 ) 
8) Dê o quociente e o resto da divisão, A : B sabendo-se que:

A = 8x2  +  6x  +  5     e
B = 2x  +  1

9) Qual é o Polinômio que, dividido por B = 3x2  +  4x  -  1, dá como quociente Q = x  +  1 e como   resto R = - 3x  +  1 ?
10) Quais dos Polinômios abaixo são divisíveis por 5x  +  1 ?

a) 15x2  -  17x  -  4
b) 5x3  -  4x2  +  4x  +  1
c) 125x4  -  100x3  -  30x2  +  4x  +  1
11) Sejam três polinômios em x:
P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3 .
Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente iguais a:
12) (UEFS-92/1) Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x)2 e R = 5x + 2; então (PR)2 - Q é:
13) (UEFS-92/1) Se o resto da divisão de P(x) = x3 + ax + b por Q(x) = x2 + x + 2 é 4, então a + b vale:

14) (UEFS-93/1) O conjunto verdade da equação 18x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 está contido em:
a) [-2,-1)      b) [-1,1)     c) [1,2)    d) [2,3)     e) [3,4)

15) (UEFS-94/1) - A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é:

16) (UESB) Se P(x) = xn - xn-1 + xn-2 - ... + x2 - x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a:

17) (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se:

a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16;
c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2;
e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo;

18)  (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x² P(x - 1) ≡ x³ + 2x + 2, então P(1) é igual a:
a) 0                b) -1               c) 1                    d) 2                      e) - 2

19) (UFRJ) Dados os polinômios: p(x) = 5 - 2x + 3x2 , q(x) = 7 + x + x2 - x3 e r(x) = 1- 3x + x4. O valor de p(x) + r (x) - q(x) para x = 2 é:

a) 5              b) 19            c) 11            d) 24             e) 14


20) (Fuvest-2009) O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x-2 e x-1 respectivamente. Assim, o valor de a é:

a) -6                    b) -7             c) -8              d) -9                  e) -10
Gabarito:

1) x4  -  81 ou ( x  -  3 )  .  ( x  +  3 )  .  ( x2  +  9 )   2) 3x3  -  1 / 2x2  +  12x  -  2
3) 3x3  +  11x2  +  20x  -  8         4) 41x / 30  -  17 / 30     5) 2x3  -  9x2  +  19x  -  15
6) x5       7) 3x4  -  4x3  +  6x  -  1 / 3                8) Q = 4x  +  1     e      R = 4
9) 3x3  +  7x2
10) Todos eles.
a) Q = 3x  -  4                              e R = Zero
b) Q = x2  -  x  +  1                       e R = Zero
c) Q = 25x3  -  25x2  -  x  +  1       e R = Zero


11) P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3 .      12)  - 400x2

13) 3        14) B      15) 3/2         16) E       17) E      18) D       19) B       20) A

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