terça-feira, 4 de dezembro de 2012

exercícios resolvidos equação geral da circunferência


Artigo com exercícios resolvidos equação geral da circunferência


1) Dada a equação x2 + y2 + 2x + 8y + k = 0, obter k para que ela represente:

a) uma circunferência;


b) um único ponto;


c) um conjunto vazio.



Resolução





2) Qual das equações abaixo representa uma circunferência?
a) 2x2 + y2 – 3x + 4y – 1 = 0
b) x2 + y2 – 2xy + 4x – 6y – 1 = 0
c) x2 + y2 – 2x – 2y + 5 = 0
d) x2 – y2 – 4x – 2y – 1 = 0
e) nda.

Resolução
As equações das alternativas a e d não representam uma circunferência, pois os coeficientes de x2 e y2 são diferentes (A  B).
A equação da alternativa b também não representa uma circunferência, pois o coeficiente de xy não é nulo (C  0).
A equação da alternativa c, embora pareça representar uma circunferência, não representa, pois, se representasse, o centro da mesma seria C = (1, 1) e a2 + b2 – f = 12 + 12 – 5 = – 3 < 0.
Assim, a resposta é alternativa e.
3) Encontre a equação das circunferências:
a)



b)




c)
d)
Resolução

4) Achar a equação reduzida da circunferência com centro no eixo y e que passa pelos pontos  A (3, 4)  e B (1, 6).


Resolução

Como o centro C pertence ao eixo y, podemos escrever suas coordenadas assim: C = (0, a).
Como A(3,4) e B(1,6) são pontos da circunferência, temos:
Elevando ao quadrado os dois membros, temos:
9 + 16 – 8a + a2 = 1 + 36 – 12a + a2 a = 3
O centro é o ponto C = (0, 3), e o raio r é:
Então, a equação reduzida da circunferência é:
(x – 0)2 + (y – 3)2 = 
ou seja: x2 + (y – 3)2 = 10

5) O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10). Considerando que o raio dessa circunferência é 7, determine sua equação.


6) (FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1). 

Resolução

7) Ache a equação geral da circunferência que passa pela origem e tem centro C(- 1,- 4).

Resolução:

C(-1,-4) passando pela origem(0,0)
Com essa informação vc consegue calcular o raio R:
R=√[(-1-0)²+(-4-0)²]= √17
(x+1)²+(y+4)² =17
x²+2x+1+y²+8y+16-17=0
x²+y²+2x+8y=0 <= Equação geral

8) Ache a equação geral da circunferência que passa (2 , -3) , (5 , 0) e (-1 , -4)

Resolução:

A(2 , -3) , B(5 , 0) e C(-1 , -4)

A circunferência passa por esses 3 pontos, certo?
Toda circunferência tem um centro, certo?
Ora, a distância entre cada ponto acima e o centro é a mesma(que é o raio da circunferência).
Então, devo aplicar distância entre 2 pontos e igualar as equações.
Seja P(a,b) o CENTRO da circunferência.A distância entre P e A é a mesma entre P e B, afinal se trata do raio.
Assim:
Dp,a=√[(Xa-Xp)²+(Ya-Yp)²]
Dp,b=√[(Xb-Xp)²+(Yb-Yp)²]
Dp,a=Dp,b
(2-a)²+(-3-b)²=(5-a)²+(0-b)²
4-4a+a²+9+6b+b²= 25-10a+a²+b²
-4a+6b+13 = 25-10a
6a+6b = 12
a+b=2 <= (Equação 1)

Agora faça:
Dp,c=Dp,b
Dp,c=√[(Xc-Xp)²+(Yc-Yp)²]
Dp,b=√[(Xb-Xp)²+(Yb-Yp)²]
(-1-a)²+(-4-b)²=(5-a)²+(0-b)²
1+2a+a²+16-8b+b²=25-10a+a²+b²
2a-8b+17=25-10a
12a-8b=8
3a-2b=2 <= (Equação 2)

Temos duas equações e duas incógnitas:
a+b=2
3a-2b=2
Resolva do jeito que achar melhor:
resp:
a=-2
b=+4
Assim, o centro da circunferência que passa por esses pontos é dado por: P(-2,4)
Raio=√[(Xa-Xp)²+(Ya-Yp)²]
=√[(2+2)²+(-3-4)²]=√(16+49)=√65

Equação reduzida:
(x+2)²+(y-4)²=65
Equação Geral:
x²+y²+4x-8y-45=0

Agora pratique:

exercícios propostos equação da circunferência


1)  (UEMT) Dada a circunferência C da equação (x - 1)² + y²= 1 e considerando o ponto P(2, 1), então as retas tangentes a C passando por P:
a) Têm equações y = 1 e x = 2.
b) não existem pois P é interno a C.
c) são ambas paralelas à reta y =1
d) Têm equações y = 1 (e só uma porque P está em C).
c) Têm equações x = 1 e y = 2.

2) (USP) A equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo ponto médio do segmento AB, onde A(2, 3) e B é o centro da circunferência de equação x² + y² - 8x - 6y + 24 = 0, é:
a) y = 3
b) y = 4
c) x = 4
d) x = 3
e) 3x + 4y = 0

3) Se M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do segmento OM, determinar a equação da circunferência de centro P e raio OP.


4) A equação da circunferência que tangencia as retas x + y = 0 e x + y = 8 e que passa pelo ponto (0; 0) é:
 a) 2 . x2 + 2y2 - 4x - 4y = 0
b) x2 + y2 - 2x - 6y = 0
c) x2 + y2 - 4x - 4y = 0
d) x2 + y2 + 4x + 4y = 0
e) n.d.a.

 

gabarito:
1. A  2. D  3. (x - 1)2 + (y-1)2 = 2   4. C  




4 comentários:

  1. Olá,
    A questão 8, nesta parte:
    Temos duas equações e duas incógnitas:
    a+b=2
    3a-2b=2
    Resolva do jeito que achar melhor:
    resp:
    a=-2
    b=+4
    Você poderia me explicar o que foi feito, por favor?
    Obrigada.

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    Respostas
    1. Sistema de 2 equações e duas icógnitas.

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