Propriedades dos logaritmos com exemplos

É fácil demonstrar as seguintes propriedades dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma: 

log_ab = x ↔ a^x = b 

Exemplos: log₃9 ↔ 3² = 9 
log₁₀100 ↔ 10² = 100 

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1 

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 

log_aa = 1, pois a¹ = a 

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 

log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente logab é igual a b. 

a^log_ab = b, pois log_ab = x → a^x = b 

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 

log_ab = log_ac ↔ b = c 


Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores

loga(b.c) = log a b + log a b

Observe que
log2 (8.4) = log2 (32) = 5

O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos do numerador e do denominador.

loga(b/c) = log a b - log a b

Observe que
log2 (8/4) = log2 (2) = 1

O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base.

loga(bc) = c. log a b

Observe que
log2 (25) = log2 (32) = 5

Propriedade da mudança de base.

Essa propriedade é utilizada quando o logaritmo a ser calculado apresenta uma base que torna os cálculos mais complexos, e ela nos permite escolher a base que seja mais conveniente, tornando os cálculos mais simples. A propriedade da mudança de base também é fundamental para a simplificação de expressões que envolvem logaritmos com bases diferentes.

Exemplo: Se desejarmos calcular o valor do seguinte logaritmo log₅  11, nem com uso de uma calculadora científica seria possível, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria necessário fazer a mudança para uma dessas bases. Assim, teremos:

Os cálculos dos logaritmos, após a mudança de base, foram feitos com o auxílio de uma calculadora científica.

Exemplos:

a)log_x8 = 2 → x² = 8 → √x = √8 → x = 2√2 

b)log₄(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 4^1/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2 

c) log₈₁x = 3/4 → x = 81^3/4 → x = (3⁴)^3/4 → x = 3^12/4 → x = 3³ → x = 27 

d) 16^log₂5 = (2⁴)^log₂5 = (2^log₂5)⁴ = 5⁴ = 625 

e) log0,01 = x → 10^x = 0,01 → 10^x = 1/100 → 10^x = 10^–2 → x = –2 

f) log(1/100)=Log(10^-2)=-2